静电场与静磁场

一些定义

静电场： 研究空间内所有电荷(电子(及空穴)、离子等)保持静止,也就是没有电流.

恒流场： 研究空间内所有位置的电流恒定,也就是电流不随时间变化.

耦合：意思就是相互作用,可以是力的形式,电的形式.

介质：用来传输信息的物质. 例如声音要依靠介质进行传播;而光在真空中就可以传播,也就是说,光的传播不需要介质.

库仑定律:电荷产生电场

库仑力

两个静止点电荷$q_{1}$和$q_{2}$之间的相互作用力叫做库仑力,也叫静电力:

$$F=k\frac{q_{1}q_{2}}{r^2}\tag{1}$$

库仑力的特点:

• 等大反向.
• 同性相斥,异性相吸.
• $k=\frac{1}{4\pi \epsilon_{0}}$,其中$\epsilon_{0}$为真空介电常数,这里先不对此常数进行解释.
• 叠加原理：根据力的叠加原理,位于$\vec{r}$处的某电荷$q_{0}$收到的库伦合力是所有其他电荷对其作用的库仑力之和.

$$F=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}q_{0}\sum^{N}_{i=1}{\frac{q_{i}}{|\vec{r}-\vec{r_{i}}|^{3}}(\vec{r}-\vec{r_{i}})}$$

然而事实上,实际生活中我们很少遇到点电荷,更多的是带电体,因此根据叠加原理:

$$F=\frac{q_{0}}{4\pi\epsilon_{0}}\oint_{V}{\frac{\rho}{|\vec{r}-\vec{r'}|^{3}}(\vec{r}-\vec{r'})}dV'$$

其中,$\rho dV$为某$dV$空间内的电荷量,因此$\rho=dq/dV$为体电荷密度.

进一步地,容易得到两个带电体1和2之间

$$F_{12}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\oint_{V_{1}}\oint_{V_{2}}{\frac{\rho_{1}\rho_{2}}{|\vec{r_2}-\vec{r_1}|^{3}}(\vec{r_2}-\vec{r_1})}dV_{1}dV_{2}=-F_{21}$$

电场强度

如果在空间内某一点放置一个测试电荷$q_{0}$,若其收到的库仑合力为$F$,由于$F$与$q_{0}$的比值与$q_{0}$无关,因此定义单位正电荷在位置$r$处所受到的力为电场强度：$E=F/q_{0}$.

电场强度是有方向的矢量,因此如果将各点电场的方向在图中绘制出来,就形成了电场线.

• 高斯定理：通过某闭合曲面S的电通量等于该曲面S内部的电荷量之和除以$\epsilon_{0}$. $$\oint_{S}E\cdot dS = \frac{1}{\epsilon_0}\sum_{S内}q$$

  静电场中,如果电场强度的在闭合曲面上的积分不为0,表示内部有电荷(电荷源),因此说电场是有源场.

• 环路定理：电场强度某闭合回路l的环量均为0. $$\oint_{l}E\cdot dl = 0$$

  静电场中,电场强度的在闭合环路上的积分一定为0,表示电场不可能一直沿着闭合环路,也就是静电场中不可能有闭合的电场线,因此叫做无旋场.

电势

如果试探电荷$q$在电场$E$中从位置1处移动到位置2处,此过程电场力对试探电荷$q$做功$Eql$,则电荷的电势能增大$Eql$. 电势能的增加量与试探电荷q的比值与q无关,定义位置1与位置2之间的电势差为

$$U_{21}=\int E\cdot dl$$

因此有

$$E=-\nabla U$$

• 电场线的方向总是由高电势指向低电势.

毕奥-萨伐尔定律:元电流产生磁场

如果$n$个电子$e^{-}$的向同一方向发生微小移动$d\vec{l}$,则电流大小为$I=neSv$,$S$为穿过的截面积,$v$为电荷移动的速度。这个电流叫做元电流。

原点处的元电流$Id\vec{l}$在$\vec{r}$处的磁感应强度为 $$\vec{B}=\int d\vec{B}=\int{\frac{\mu_{0}}{4\pi}\frac{Id\vec{l}\times\vec{r}}{r^{3}}}$$

• 练习题:求P点的磁感应强度.

  

  答案: $B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi a}(\cos\alpha_{1}-\cos\alpha_{2})$,导线延长线上磁感应强度为0;当导线无限长时,$B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi a}$.

安培力

某点处的元电流$Id\vec{l}$受到此点磁场的力为 $$d\vec{F}=Id\vec{l}\times\vec{B}$$

磁通量

在$\vec{r}$处穿过曲面$dS$的磁感线的数量为磁通量:

$$d\Phi=\vec{B}\cdot dS$$

例如,在一个电流环内部平面上距离圆心$r=a$处的磁感应强度为:

于是

$$r^{2}=a^{2}+R^{2}-2aR\cos\theta$$

又由于$dl=Rd\theta$, $$d\vec{l}\times\vec{r}=dl\cdot r\frac{R^{2}+r^{2}-a^{2}}{2Rr}=\frac{R^{2}+r^{2}-a^{2}}{2}d\theta$$

于是 $${B}=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\int^{2\pi}_{0}\frac{R^{2}+r^{2}-a^{2}}{2r^{3}}d\theta$$

线圈中的磁通量为:

$$\begin{aligned} \Phi&=\int BdS\\ &=\frac{\mu_{0}I}{4\pi}\int^{R}_{0} 2\pi a\left(\int^{2\pi}_{0}\frac{R^{2}+r^{2}-a^{2}}{2r^{3}}d\theta\right)da\\ &=\frac{\mu_{0}I}{4}\int^{2\pi}_{0}\int^{R}_{0}a\frac{R^{2}+r^{2}-a^{2}}{r^{3}}dad\theta\\ &=\frac{\mu_{0}kI}{4} \end{aligned}$$

其中$k=\int^{2\pi}_{0}\int^{R}_{0}a\frac{R^{2}+r^{2}-a^{2}}{r^{3}}dad\theta$只与圆形线圈的半径有关.

• 安培环路定理:在真空中，磁感应强度$B$沿任意回路的线积分，等于该回路所限定的曲面上穿过的总电流乘以磁导率。这表明磁场是有旋场。定义$H=B/\mu_{0}$,二者的关系在电感进一步描述.这里$\mu_{0}$是真空磁导率. $$\begin{aligned} \oint_{l}B\cdot dl&=\mu_{0}I\\ \oint_{l}H\cdot dl&=I \end{aligned}$$
• 磁通连续定理: 磁感应线通常是闭合的。因此,对于磁场中的任何闭合曲面S,穿入的磁感应线数恒等于穿出的磁感应线数,即穿出闭合曲面S的净磁通量为零。 $$\oint_{S}B\cdot dS=0$$

小结

本节主要讲了:

• 点电荷之间的库仑力,元电流之间的安培力;
• 静电场环路定理:电场的无旋性;
• 静电场高斯定理:电场的有源性;
• 静磁场安培环路定理:磁场的有旋性;
• 静磁场磁通连续定理:磁场的无源性.

引申:电流连续性方程

电荷守恒定律:单位时间内流出闭合曲面的电荷量等于该曲面内电荷量的减少量.即:

$$I=-\frac{dq}{dt}$$

用面电流密度$\vec{J}=dI/dS$表示:

$$\oint_{S}\vec{J}\cdot dS=-\frac{d}{dt}\int\rho dV$$

其微分形式为

$$\nabla\cdot\vec{J}+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0$$