电磁学与电路的关系

知识回顾

• 电磁感应定律:$\oint E\cdot dl=-\int_{S}\frac{\partial B}{\partial t}dS$,电场的无旋性;
• 电场高斯定理:$\oint D\cdot dS=q$,电场的有源性;
• 磁场安培环路定理:$\oint_{l}H\cdot dl=\int_{S} \left(J_{c}+\frac{\partial D}{\partial t}\right)\cdot dS$,磁场的有旋性;
• 磁场磁通连续定理:$\oint B\cdot dS=0$,磁场的无源性.
• 电流连续性定理:$\oint_{S}\vec{J}\cdot dS=-\frac{d}{dt}\int\rho dV$,电荷守恒定律.
• 本构方程1-导体的欧姆定律:$J=\sigma E$
• 本构方程2-电介质的极化:$D=\epsilon_{0}\epsilon_{r}E$
• 本构方程3-磁介质的磁化:$B=\mu_{0}\mu_{r}H$

集总参数电路

只要空间中的电磁波,或者电路中信号自身产生的电磁波的波长远远大于电路的尺寸,就是集总参数电路.在电磁波与天线中我们讲到,当电路尺寸$l$和电磁波的波长满足$l\cdot k= l\cdot\frac{2\pi}{\lambda}\approx 0$时,也就是$l$远远小于$\lambda$时,可以得到$U=0$,电磁波不会在元件两端产生电压差.此外,根据$\lambda\gg L$,于是$c/f\gg l$,也就是说此时空间中的电磁波,或者电路中信号自身产生的电磁波的频率特别低,此时有$\partial D/\partial t \approx0$,$\partial B/\partial t \approx0$.

于是有$\oint E\cdot dl = 0$,$\oint{H\cdot dl}=I$.

基尔霍夫电流定律

根据电荷守恒定律,流入某闭合曲面内的电荷量等于曲面内电荷量的增加量,而在电场作用下,导线/介质内部不会积累电荷,于是

$$\oint_{S}\vec{J_{c}}\cdot dS=-\frac{d}{dt}\int\rho dV=0$$

于是在电路中任意点

$$\sum^{n}_{i=1}I_{i}=0$$

$n$为与该点连接的导线数.这个方程叫做基尔霍夫电流定律(KCL).

当某点$n>2$时,我们一般称之为节点.

基尔霍夫电压定律

由于集总参数电路中, $$\oint_{l}E\cdot dl=0$$

因此 $$\sum^{n}_{i=1}U_{i}=0$$

小结

• 集总参数电路是尺寸很小,频率不高的电路.当考虑到微波、射频电路时,必须考虑电磁波与电路的相互作用.
• 集总参数电路遵循KCL和KVL方程.
• 电路分析时,时刻运用两个方程进行分析.