理解卷积

卷积的内涵

先给公式， $f$ 函数和 $h$ 函数的卷积： $(f*h)(t)=\int^{t}_{-\infty}f(\tau)h(t-\tau)d\tau \tag{1}$

什么意思呢？对于任意的输入信号 $x(t)$ ,都可以表示为

$x(t)=\sum_{t_{k}\in R}x(t_k)\delta(t-t_{k})$

即，任意输入信号均可分解为冲激函数 $\delta(t)$ 的线性组合。输入信号为单位冲激函数(幅值为1)时，把对应的输出(响应结果)定义为 $h(t)$ 。也就是说， $h(t)$ 是系统对单位冲激函数 $\delta$ 的响应。注意，这个响应函数 $h(t)$ 是系统决定的，每个系统都有自己的 $h(t)$ 函数，因此 $h(t)$ 也叫系统函数:

$h(t)=\frac{y(t)}{x(t)}$

如下图所示，如果系统的输入在 $t=0$ 时刻的幅值为 $f(0)$ ，那么系统对它的响应就是 $f(0)h(t)$ 。

也就是说，该输入对应的系统输出为：

$y(t)=f(0)h(t),$

事实上，而实践中，输入一般是连续的信号。例如，在 $t=1$ 时刻，系统的输入为 $f(1)$ ，则该输入相应的输出为 $f(1)h(t-1),\text{here}\;t>1$ 。因此，如果在任一时刻 $\tau$ ，系统中的输入为 $f(\tau)$ ，那么该输入对应的输出为 $f(\tau)h(t-\tau)$ 。而 $t$ 时刻时的输出，不只是当前时刻 $t$ 的输入的作用，还包括之前的所有时刻 $\tau$ 的输入带来的作用。因此，系统在 $t$ 时刻的输出，是 $t$ 时刻之前所有时刻的输入信号作用的求和。即

$y(t)=\sum_{\tau=-\infty}^{\tau<t} f(\tau)h(t-\tau)\tag{2}$

写成积分的形式，即可得到式(1)。

因此，式(1)的含义是：系统 $t$ 时刻的输出，是该时刻之前的所有输入 $f(t)$ 引起的响应累积作用的结果。

图解法求卷积

把 $h$ 换成 $g$ ，重写卷积公式：

$y(t)=(f*g)(t)=\int^{t}_{-\infty}f(\tau)g(t-\tau)d\tau \tag{3}$

已知 $f(t)$ 和 $g(t)$ 的表达式以及函数图像，怎么求得二者的卷积结果呢?

为了理解方便，设 $f(t)$ 和 $g(t)$ 都是方框函数，

$f(t)=\begin{cases}1\quad&t\leq|a|\\0&\text{Others}\end{cases}$

$g(t)=\begin{cases}0.5\quad&0\leq t\leq b\\0&\text{Others}\end{cases}$

如下图所示。考察公式(3)，求 $y(t)$ ，就是求 $t$ 时刻之前，所有 $\tau$ 时刻 $f(\tau)$ 与 $g(t-\tau)$ 乘积的和。

为了求 $f(\tau)$ 与 $g(t-\tau)$ 的乘积并积分，需要首先分别画出 $f(\tau)$ ， $g(t-\tau)$ 关于 $\tau$ 的图像。 $f(\tau)-\tau$ 的图像直接根据表达式可以画出，如下图紫色矩形框所示。 $g(t-\tau)$ 关于 $\tau$ 的图像则需要对函数 $g(\tau)-\tau$ 图像依次做反褶(沿 $\tau=0$ 做镜像)，然后右移 $t$ ，并计算在不同 $t$ 下，两个函数曲线所围的面积(如果f(0)=2呢，就不是面积了。这里为了举例方便，设置了 $f(0)=1$ ，应该是 $f*g$ )。

当 $t<0$ 时，需要对反褶的 $g$ 图像左移 $|t|$ ，然后计算两个函数曲线所围的面积。

当 $t<-a$ 时，相当于对反褶的 $g$ 图像左移 $|t|(|t|>a)$ ，两曲线无重叠区域，因此 $y(t)=0$ ；
当 $t=-a$ ，相当于对反褶的 $g$ 图像左移 $a$ ，反褶的 $g$ 图像右侧与 $f(t)$ 左侧刚好重叠。
当 $-a<t<0$ ，相当于对反褶的 $g$ 图像左移 $|t|(|t|<a)$ ，二者重叠区域变大。
当 $0<t<a$ ，相当于对反褶的 $g$ 图像右移 $|t|(|t|<a)$ ，二者重叠区域进一步变大。
当 $t=a$ ，相当于对反褶的 $g$ 图像右移 $a$ ，二者重叠区域达到极大值。
当 $a<t<b-a$ ，相当于对反褶的 $g$ 图像右移 $|t|(a<|t|<b-a)$ ，反褶的 $g$ 图像将 $f(t)$ 整体包围，二者重叠区域保持极大值。
当 $t=b-a$ ，相当于对反褶的 $g$ 图像右移 $b-a$ ，反褶的 $g$ 图像左侧与 $f(t)$ 左侧重叠。
当 $b-a<t<a+b$ ，相当于对反褶的 $g$ 图像右移 $|t|$ ，反褶的 $g$ 图像左侧进入 $f(t)$ 图像中，二者重叠区域随 $t$ 的右移而减小。
当 $t=a+b$ ，相当于对反褶的 $g$ 图像右移 $|t|=a+b$ ，反褶的 $g$ 图像左侧与 $f(t)$ 图像右侧重叠，二者重叠面积变为0。
当 $t>a+b$ ，相当于对反褶的 $g$ 图像右移 $|t|>a+b$ ，反褶的 $g$ 图像左侧与 $f(t)$ 图像右侧分别且随着 $t$ 增大而渐行渐远，二者重叠面积保持为0。