小波变换(五): 小波变换与卷积

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本文是《小波变换》系列的第5篇，主要分析小波变换和卷积的关系。

1. 小波变换(一): 为什么需要小波?
2. 小波变换(二): 小波基函数,母小波和父小波
3. 小波变换(三): 从实例代码看Haar小波分解和重构
4. 小波变换(四): 常用小波特点及二维小波变换
5. 小波变换(五): 小波，傅里叶与卷积的关系

傅里叶滤波和小波滤波的区别是什么?

其实这个问题在小波变换(一): 为什么需要小波?中已经回答过了。

通常意义下的Fourier Transform（我们这里不考虑比如Short-time Fourier Transform之类的局部变化）是一个全局的变换，而可以把小波变换理解成是一个局部的频率变换。那么为什么说Wavelet通常会比Fourier在modeling一些自然信号时候更有优势（更好的稀疏化信号）呢？举个栗子，我们都知道一段全局smooth的信号（比如一条直线），是可以在Fourier Transform里面被稀疏化的。而这类信号经常出现在自然图像里面，比如edge一类的texture。然而如果这条线突然变成了两段，比如中间出现转折，或者断了，对于Fourier来说，他的稀疏性就降低了。这类现象也是经常出现在自然图片里面的。然而Wavelet只是分析局部的频率，他的可稀疏化信号，只需要piece-wise smooth就行了。这大大地扩宽了在自然信号里的普适性，从而使得他在降噪应用里效果拔群。

小波与卷积

小波基函数(能量有限，时间长度有限)本质上就是一个卷积(滤波器)窗口。原始时域信号与小波基函数的内积，代表了信号在该小波基函数方向的分量大小，也就是原始时域信号与滑窗的卷积。因此，小波级数与卷积一样，都是把原始信号分解到一系列的窗函数上。

一维小波基函数对应于变换矩阵的向量，就是一个一维的卷积滑窗。二维小波基函数对应的张量，就是一个二维的卷积滑窗。

恭喜你解锁了小波变换彩蛋: Python中的小波变换库。

参考内容

1. 形象易懂讲解算法I-小波变换
2. 《The Wavelet Tutorial》小波教程 中文翻译（上）
3. python实现小波变换的一个简单例子
4. 小波变换和motion信号处理（一）
5. 小波变换和motion信号处理：第二篇